向量共线的条件

2020-02-14

零向量与任何向量共线。非零向量共线条件是b=λa，其中a≠0，λ是唯一实数。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

向量共线的条件

平面向量共线的条件

零向量与任何向量共线

以下考虑非零向量，三个方法

（1）方向相同或相反

（2）向量a=k向量b

（3）a=(x1，y1)，b=(x2，y2)

a//b等价于x1y2-x2y1=0

共线向量基本定理

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。