相交弦定理及怎么证明

2020-01-21

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

相交弦定理及怎么证明

圆幂定理

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。当P点在圆内时称为相交线定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。

证明过程

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

相交弦

相交弦是圆内相关的两条弦。在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦，圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。如弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。