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幂函数导数

2023-04-20

幂函数的导数是ax^(a-1)。幂函数导数公式的证明:y=x^a,两边取对数lny=alnx,两边对x求导(1/y)*y'=a/x,所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

什么是幂函数

幂函数是基本初等函数之一。

一般地,y=xα(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。

幂函数的一般形式是 ,其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形(a为无理数时,定义域为(0,+∞) ),这时可表示为 ,其中m,n,k∈N*,且m,n互质。特别,当n=1时为整数指数幂。

幂函数的性质是怎样的

正值性质

当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:

a、图像都经过点(1,1)(0,0);

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0(函数值递增);

负值性质

当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:

a、图像都通过点(1,1);

b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。

c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。

零值性质

当α=0时,幂函数y=xa有下列性质:

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

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