可逆矩阵的行列式

时间：2023-04-19 10:22 高中数学

可逆矩阵与其逆矩阵是大学数学（高数）中的重点知识也是期末考试和研究生入学考试中的高频考点。本文重点来谈谈“逆矩阵的行列式值与原矩阵行列式的关系”：逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式的乘积为1，即二者互为倒数。

可逆矩阵的行列式是什么

矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

证明如下：

因为 AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵.

所以 |AB|=|BA|=1。

当A是方阵时，|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,

有 |B|=1/|A|。

性质定理：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明：

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

2、设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。

3、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

4、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I。

由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

5、1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。