实对称矩阵的特征值一定是实数吗

2021-10-08

是。实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。n阶实对称矩阵必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

实对称矩阵的含义

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji），(i,j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。

实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

需要注意的是：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。