交集和并集的性质

一、交集和并集的定义

1、交集的定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合称为集合A和B的交集，记作：$A\cap B$，读作：A交B，符号表示：$A\cap B=\lbrace x \mid x \in A,且x \ni B \rbrace$.

2、并集的定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合称为集合A和B的并集，记作：$A \cup B$，读作：A并B，符号表示：$A \cup B = \lbrace x \mid x \in A 或 x \in B \rbrace$.

二、例题

1、集合$A=\lbrace-2\leqslant x\leqslant 2,x\in R\rbrace$，集合$B=\lbrace y\mid y=x^2 -3,x \in A\rbrace$，则$A\cap B$ = ()

A. $\lbrace x \mid -3 \leqslant x\leqslant 2\rbrace$ㅤB. $\lbrace x \mid -2 \leqslant x \leqslant 1 \rbrace$
C. $\lbrace x \mid -2 \leqslant x \leqslant 2 \rbrace$ㅤD. $\lbrace x \mid -3 \leqslant x \leqslant 1 \rbrace$

答案：B

解析：$\because A= \lbrace -2 \leqslant x \leqslant 2, x \in R \rbrace$，$B= \lbrace y \mid y=x^2 -3,x \in A \rbrace$，可得$y=x^2 -3,x \in [-2,2]$，根据二次函数图像特征可得$-3 \leqslant y \leqslant 1$，$\therefore B=[-3,1]$，$\therefore A \cap B = [-2,2] \cap [-3,1]=[-2,1]= \lbrace x \mid -2 \leqslant x \leqslant 1 \rbrace$，故选B.

2、已知集合$U=R,A= \lbrace x \mid y = lg(4-x^2) \rbrace$，$B= \lbrace x \mid -2 \le x \le 1 \rbrace$，则$A \cup B$ = （）

A. (-2,2)ㅤㅤB. (-2,1)
C. [-2,2]ㅤㅤD. [-2,2)

答案：D

解析：依题意可得$A= \lbrace x \mid -2 < x < 2 \rbrace$，$B= \lbrace x \mid -2 \le x < 1 \rbrace$，所以$A \cup B = [-2,2)$，故选D.